Математические методы и модели в экономике. Методы математического моделирования в экономике

МПС Российской федерации

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Челябинский Институт Путей Сообщения

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу: “Экономико-математическое моделирование"

Тема: “Математические модели в экономике"

Выполнил:

Шифр:

Адрес:

Проверил:

Челябинск 200_ г.

Введение

Составление математической модели

Создание и сохранение отчетов

Анализ найденного решения. Ответы на вопросы

Часть № 2 "Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса

Решение задачи на компьютере

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

Литература

Введение

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы.

Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи, стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:

2. Системный анализ.

3. Системный синтез (математическая постановка задачи)

4. Разработка или выбор программного обеспечения.

5. Решение задачи.

Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

Сложность процессов в экономике требует от человека, принимающего решения, высокой квалификации и большого опыта. Это, однако, не гарантирует ошибок, дать быстрый ответ на поставленный вопрос, провести экспериментальные исследования, невозможные или требующие больших затрат и времени на реальном объекте, позволяет математическое моделирование.

Математическое моделирование позволяет принять оптимальное, то есть наилучшее решение. Оно может незначительно отличаться от грамотно принятого решения без применения математического моделирования (около 3%). Однако при больших объемах производства такая "незначительная" ошибка может привести к огромным потерям.

Математические методы, применяемые для анализа математической модели и принятия оптимального решения, весьма сложны и их реализация без применения ЭВМ затруднительна. В составе программ Excel и Mathcad имеются средства, позволяющие провести математический анализ и найти оптимальное решение.

Часть № 1 "Исследование математической модели"

Постановка задачи.

На предприятии имеется возможность выпуска продукции 4-х видов. Для выпуска единицы продукции каждого вида необходимо затратить определенное количество трудовых, финансовых, сырьевых ресурсов. В наличии имеется ограниченное количество каждого ресурса. Реализация единицы продукции приносит прибыль. Значения параметров приведены в таблице 1. Дополнительное условие: финансовые затраты на производство продукций №2 и №4 не должны превышать 50р. (каждого вида).

На основе математического моделирования средствами Excel определить, какую продукцию и в каких количествах целесообразно произвести с точки зрения получения наибольшей прибыли, проанализировать результаты, ответить на вопросы, сделать выводы.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

ВВЕДЕНИЕ

Удивительно высокая эффективность математики в естественных и технических науках постоянно подтверждается всей практической деятельностью человека. Наиболее грандиозные технические проекты XX и начала XXI века без использования мощного математического инструментария не могли бы быть осуществлены в современном виде и качестве при минимальном количестве катастрофических ошибок. Для экономических наук и экономики вообще дело обстоит сложнее. Однако, даже самый общий взгляд на проблему приводит к осознанию того, что тезис о возможной высокой эффективности математики в экономике является вполне естественными и логичным, так как вся математика изначально и многие её разделы в последствий, своим происхождением и развитием обязаны именно практической, хозяйственной, экономической жизни общества.

В то же время, справедливость общих положений ещё не означает их безусловного приоритета в каждом конкретном случае, а любой метод в любой области знания имеет свою сферу применения, подчас весьма ограниченную. Поэтому, не следует преувеличивать и тем более абсолютизировать роль математических методов и математики вообще, что и вызывает у обучающихся негативное отношение к предмету: существует широкий класс экономических структур, управление которыми осуществляется на интуитивном уровне без какого-либо использования математических моделей и методов и даёт вполне приемлемые результаты. Таким структурам относятся отдельные предприятия мелкого масштаба. Применение математики в организациях такого типа сводится к элементарным арифметическим расчётам в рамках задач бухгалтерского учёта, что создаёт и укрепляет иллюзию возможности успешного управления любыми экономическими системами без использования какой-либо серьёзной математики вообще.

Однако такая точка зрения является излишне упрощённой.

Математическая модель объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков, условный образ объекта, созданный для упрощения его исследования, получения о нём новых знаний, анализа и оценки принимаемых решений в конкретных или возможных ситуациях.

Экономико-математическое моделирование , являясь одним из эффективных методов описания сложных социально-экономических объектов и процессов в виде математических моделей, превращается тем самым в часть самой экономики, вернее сплав экономики, математики и кибернетики.

В составе экономико-математических методов можно выделить следующие научные дисциплины и их раздели:

Экономическая кибернети ка (системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем);

Математическая статистика (дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, кластерный анализ, частотный анализ, теория индексов и др.);

Математическая экономика и эконометрика (теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.);

Методы принятия оптимальных решений (математическое программирование, сетевые и программно-целевые методы планировании и управления, теория массового обслуживания, теория и методы управления запасами, теория игр, теория и методы принятия решений, теория расписаний и др.);

Специфические методы и дисциплины (модели свободной конкуренции, модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и др.);

Экспериментальные методы изучения экономики (математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, имитационное моделирование, деловые игры, методы экспертных оценок и др.).

Экономико-математические модели можно классифицировать по следующим основным признакам

По общему целевому назначению – теоретико-аналитические и прикладные модели ;

По степени агрегирования объектов – микроэкономические и макроэкономические модели ;

По конкретному предназначению – балансовые (требование соответствия наличия ресурсов и их использования), трендовые (развитие моделируемой системы через длительную тенденцию её основных параметров), оптимизационные, имитационные (в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) модели ;

По типу информации, используемой в модели, - аналитические и идентифицируемые (на базе апостериорной, экспериментальной информации) модели ;

По учёту фактора неопределённости – детерминированные и стохастические модели ;

По характеристике математических объектов или аппарата – матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т. п. ;

По типу подхода к изучаемым системам – дескриптивные (описательные) модели (например, балансовые и трендовые) и нормативные модели (например, оптимизационные модели и модели уровня жизни).

Также по используемому инструментарию можно выделить равновесные, статические, динамические, непрерывные и другие модели.

Теоретические модели на базе априорной информации отображают общие свойства экономики и её компонентов с дедукцией выводов из формальных предпосылок.

Прикладные модели обеспечивают возможность оценки параметров функционирования конкретных технико-экономических объектов и обоснования выводов для принятия управленческих решений.

Макроэкономические модели обычно описывают экономику страны ка единое целое, связывая между собой укрупнённые материальные и финансовые показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость, бюджет, инфляцию, ценообразование и др.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо их автономное поведение в переходной неустойчивой или стабильной рыночной среде, стратегии поведения фирм в условиях олигополии с использованием методов оптимизации и теории игр и т. п.

Оптимизационные модели связаны в основном с микроуровнем, на макроуровне результатом рационального выбора поведения становится некоторое состояние равновесия.

Детерминированные модели предполагают жёсткие функциональные связи между переменными модели, а стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарии теории вероятностей и математической статистики для их описания.

Равновесные модели, присущие рыночной экономике, описывающие поведение субъектов хозяйствования как в стабильных устойчивых состояниях, так и в условиях нерыночной экономики, где неравновесие по одним параметрам компенсируется другими факторами.

Статические модели описывают состояние экономического объекта в конкретный текущий момент или период времени; динамические модели, напротив, включают взаимосвязи переменных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов в экономике.

К числу сложной комбинированной экономико-математической модели, например, можно отнести экономико-математическую модель межотраслевого баланса , являющуюся прикладной, макроэкономической, аналитической, дескриптивной, детерминированной, балансовой, матричной моделью, причём выделяют как статические, так и динамические модели межотраслевого баланса.

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

§ 1. Основные понятия и определения

Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся теорией и методами решения многомерных экстремальных задач на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

В общем виде задача математического программирования формулируется следующим образом: найти наименьшее (или наибольшее) значение функции при ограничениях

где и – заданные функции, а– некоторые постоянные числа.

В зависимости от свойств функции и математическое программирование делится на ряд самостоятельных дисциплин. Прежде всего это линейное программирование. К задачамлинейного программирования (ЛП) относятся задачи математического программирования, в которых функции и

Для решения задач линейного программирования существуют универсальные методы, с помощью которых можно решить любую задачу линейного программирования.

Рассмотрим основную задачу линейного программирования.

(1.2)

Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.2) найти такое решение, при котором функция (1.1) принимает минимальное значение .

канонической или основной задачей линейного программирования (ЗЛП).

Условия неотрицательности решения системы (1.2), если они не оговорены в формулировке задачи, записываются в виде

Функцию (1.1) называют целевой функцией (ЦФ), а условия (1.2) – ограничениями-равенствами .

Всякое неотрицательное решение системы (1.2) называется допустимым решением или планом задачи.

Совокупность допустимых решений системы (1.2) называется областью допустимых решений (ОДР).

Допустимое решение системы (1.2), минимизирующее функцию (1.1), называется оптимальным решением или оптимальным планом ЗЛП.

Значение целевой функции (1.1), отвечающее оптимальному решению, называется оптимумом .

Если в задаче линейного программирования необходимо найти максимум функции , то максимизацию этой функции можно заменить минимизацией противоположной функции .

Рассмотрим другую задачу линейного программирования.

Пусть заданы линейная функция

и система линейных уравнений снеизвестными

(1.5)

где ,и– заданные постоянные числа.

Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.5) найти такое решение, которое минимизирует функцию (1.4) .

Сформулированная задача называется стандартной или симметричной задачей линейного программирования .

Условия (1.5) называются ограничениями-неравенствами .

Стандартную задачу линейного программирования нетрудно привести к каноническому виду, заменив неравенства в системе (1.5) равенствами с помощью введения новых неотрицательных неизвестных .

§ 2. Простейшие задачи линейного программирования

Задача о наилучшем использования ресурсов .

Для трёх видов продукции ,ииспользуется три вида сырья и . Предприятие может израсходовать 32 т сырья, не менее 40 т сырьяи не более 50 т сырья. Нормы расхода сырья на единицу продукции того или иного вида, а также трудовые и энергетические затраты на производство единицы продукции, и приведены в таблице.

Определить количества продукции видов ,и, которые следует производить при минимальных затратах энергетических и трудовых ресурсов.

Для построения математической модели задачи обозначим через количества продукции видов , и соответственно, которые предполагается производить. Тогда целевую функцию и ограничения задачи можно записать в виде

Как видим, математическая модель задачи сводится к минимизации некоторой линейной функции при ограничениях. Записанных в виде равенств и неравенств.

Задача о максимальном доходе производственного предприятия .

При производстве трёх видов продукции ,ииспользуется три вида сырья и . Запасы каждого вида сырья составляют 32 т, 40 т и 50 т соответственно. Количество единиц сырья, необходимого для изготовления единицы продукции, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции каждого вида приведены в таблице.

Требуется составить план выпуска продукции , и, при котором прибыль от реализации всей продукций была бы максимальной.

Обозначим через количества единиц продукции видов , и, которую необходимо производить.

Математическая модель данной задачи имеет вид

Таким образом, надлежит найти такой набор неотрицательных чисел , удовлетворяющий полученной системе ограничений-неравенств, который доставляет максимальное значение целевой функции .

Задача о рационе питания .

Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен употребить в пищу в течение суток определённое количество белков, жиров, углеводов, витаминов, микроэлементов и др.

Пусть имеется три вида продуктов ,и и перечень из необходимых питательных веществ и. Количество питательных веществ, содержащегося в единице продукта, а также стоимости единиц продуктов приведены в таблице.

Требуется организовать питание так, чтобы удовлетворялась норма потребности в питательных веществах и чтобы стоимость использованных продуктов была минимальной.

Обозначим через количества единиц продуктов видов , и.

Математическая модель данной задачи будет иметь вид

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО - ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

(ТФ ГОУ ВПО РГТЭУ)

Реферат по математике на тему:

«Экономико-математические модели»

Выполнили:

Студентки 2 курса

«Финансы и кредит»

дневное отделение

Максимова Кристина

Витка Наталья

Проверил:

Доктор технических наук,

профессор С.В. Юдин _____________

Введение

1.Экономико-математическое моделирование

1.1 Основные понятия и типы моделей. Их классификация

1.2 Экономико-математические методы

Разработка и применение экономико-математических моделей

2.1 Этапы экономико-математического моделирования

2.2 Применение стохастических моделей в экономике

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность. Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа, исследования операций, теории вероятностей и математической статистики способствовало формированию различного рода моделей экономики.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Почему можно говорить об эффективности применения методов моделирования в этой области? Во-первых, экономические объекты различного уровня (начиная с уровня простого предприятия и кончая макроуровнем - экономикой страны или даже мировой экономикой) можно рассматривать с позиций системного подхода. Во-вторых, такие характеристики поведения экономических систем как:

-изменчивость (динамичность);

-противоречивость поведения;

-тенденция к ухудшению характеристик;

-подверженность воздействию окружающей среды

предопределяют выбор метода их исследования.

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Цель данной работы - раскрыть понятие экономико-математических моделей и изучить их классификацию и методы, на которых они базируются, а также рассмотреть их применение в экономике.

Задачи данной работы: систематизация, накопление и закрепление знаний об экономико-математических моделях.

1.Экономико-математическое моделирование

1.1 Основные понятия и типы моделей. Их классификация

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. В общем виде модель можно определить как условный образ реального объекта (процессов), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием . Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процессов). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процессов), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Модель - это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы моделей.

Экономико-математические модели - это модели экономических объектов или процессов, при описании которых используются математические средства. Цели их создания разнообразны: они строятся для анализа тех или иных предпосылок и положений экономической теории, логического обоснования экономических закономерностей, обработки и приведения в систему эмпирических данных. В практическом плане экономико-математические модели используются как инструмент прогноза, планирования, управления и совершенствования различных сторон экономической деятельности общества.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По целевому назначению модели делятся на:

·Теоретико-аналитические (используются в исследовании общих свойств и закономерностей экономических процессов);

·Прикладные (применяются в решении конкретных экономических задач, таких как задачи экономического анализа, прогнозирования, управления).

По учету фактора времени модели подразделяются на:

·Динамические (описывают экономическую систему в развитии);

·Статистические (экономическая система описана в статистике, применительно к одному определенному моменту времени; это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени).

По длительности рассматриваемого периода времени различают модели:

·Краткосрочного прогнозирования или планирования (до года);

·Среднесрочного прогнозирования или планирования (до 5 лет);

·Долгосрочного прогнозирования или планирования (более 5 лет).

По цели создания и применения различают модели:

·Балансовые;

·Эконометрические;

·Оптимизационные;

·Сетевые;

·Систем массового обслуживания;

·Имитационные (экспертные).

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.

Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость эндогенных (зависимых) переменных от экзогенных (независимых) переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой экономической системы. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наилучшим образом для достижения поставленной цели.

Сетевые модели наиболее широко используются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий, и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

Имитационная модель, наряду с машинными решениями, содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае персональный компьютер, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.

По учету фактора неопределенности модели подразделяются на:

·Детерминированные (с однозначно определенными результатами);

·Стохастические (вероятностные; с различными, вероятностными результатами).

По типу математического аппарата различают модели:

·Линейного программирования (оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений);

·Нелинейного программирования (оптимальных значений целевой функции может быть несколько);

·Корреляционно-регрессионные;

·Матричные;

·Сетевые;

·Теории игр;

·Теории массового обслуживания и т.д.

С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей и новых признаков их классификации, осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

моделирование математический стохастический

1.2 Экономико-математические методы

Как и всякое моделирование, экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объекта посредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простого и доступного объекта, его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов, во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведения отдельных показателей, в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

Суть экономико-математического моделирования заключается в описании социально-экономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей, которые следует понимать как продукт процесса экономико-математического моделирования, а экономико-математические методы - как инструмент.

Рассмотрим вопросы классификации экономико-математических методов. Эти методы представляют собой комплекс экономико-математических дисциплин, являющихся сплавом экономики, математики и кибернетики. Поэтому классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисциплин, входящих в их состав.

С известной долей условности классификацию этих методов можно представить следующим образом.

·Экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем.

·Математическая статистика: экономические приложения данной дисциплины - выборочный метод, дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, теория индексов и др.

·Математическая экономия и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрия: теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование.

·Методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций в экономике. Это наиболее объемный раздел, включающий в себя следующие дисциплины и методы: оптимальное (математическое) программирование, сетевые методы планирования и управления, теорию и методы управления запасами, теорию массового обслуживания, теорию игр, теорию и методы принятия решений.

В оптимальное программирование в свою очередь входят линейное и нелинейное программирование, динамическое программирование, дискретное (целочисленное) программирование, стохастическое программирование и др.

·Методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно планируемой экономики, так и для рыночной (конкурентной) экономики. К первым можно отнести теорию оптимального ценообразования функционирования экономики, оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели материально-технического снабжения и др. Ко вторым - методы, позволяющие разработать модели свободной конкуренции, модели капиталистического цикла, модели монополии, модели теории фирмы и т.д. Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой экономики, могут быть оказаться полезными и при экономико-математическом моделировании в условиях рыночной экономики.

·Методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним относят, как правило, математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, методы машинной имитации (имитационное моделирование), деловые игры. Сюда можно отнести также и методы экспертных оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному измерению.

В экономико-математических методах применяются различные разделы математики, математической статистики, математической логики. Большую роль в решении экономико-математических задач играют вычислительная математика, теория алгоритмов и другие дисциплины. Использование математического аппарата принесло ощутимые результаты при решении задач анализа процессов расширенного производства, определения оптимальных темпов роста капиталовложений, оптимального размещения, специализации и концентрации производства, задач выбора оптимальных способов производства, определения оптимальной последовательности запуска в производство, задачи подготовки производства методами сетевого планирования и многих других.

Для решения стандартных проблем характерны четкость цели, возможность заранее выработать процедуры и правила ведения расчетов.

Существуют следующие предпосылки использования методов экономико-математического моделирования, важнейшими из которых являются высокий уровень знания экономической теории, экономических процессов и явлений, методологии их качественного анализа, а также высокий уровень математической подготовки, владение экономико-математическими методами.

Прежде чем приступить к разработке моделей, необходимо тщательно проанализировать ситуацию, выявить цели и взаимосвязи, проблемы, требующие решения, и исходные данные для их решения, вести систему обозначений и только тогда описать ситуацию в виде математических соотношений.

2. Разработка и применение экономико-математических моделей

2.1 Этапы экономико-математического моделирования

Процесс экономико-математического моделирования - это описание экономических и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппаратом и средствами моделирования. Поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и содержание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов:

.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ;

2.Построение математической модели;

.Математический анализ модели;

.Подготовка исходной информации;

.Численное решение;

Рассмотрим каждый из этапов более подробно.

1.Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ . Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2.Построение математической модели . Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таком образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше «работает» и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности т неопределенности и т.д.

Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом.

Одна из важный особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться «изобретать» модель; сначала необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

.Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели. Если удается доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает и следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неищвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

4.Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов.

Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5.Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составление программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6.Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявить некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

2.2 Применение стохастических моделей в экономике

Основу эффективности банковского менеджмента составляет планомерный контроль за оптимальностью, сбалансированностью и устойчивостью функционирования в разрезе всех элементов, формирующих ресурсный потенциал и определяющих перспективы динамического развития кредитного учреждения. Его методы и инструменты требуют модернизации с учетом изменяющихся экономических условий. В то же время необходимость совершенствования механизма реализации новых банковских технологий обуславливает целесообразность научного поиска.

Используемые в существующих методиках интегральные коэффициенты финансовой устойчивости (КФУ) коммерческих банков зачастую характеризуют сбалансированность их состояния, но не позволяют дать полную характеристику тенденции развития. Следует учитывать, что результат (КФУ) зависит от многих случайных причин (эндогенного и экзогенного характера), которые не могут быть заранее полностью учтены.

В связи с этим оправданно рассматривать возможные результаты исследования устойчивого состояния банков в качестве случайных величин, имеющих одинаковое распределение вероятностей, поскольку исследования проводятся по одной и той же методике с использованием одинакового подхода. Кроме того, они взаимно независимы, т.е. результат каждого отдельного коэффициента не зависит от значений остальных.

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события x 1 , x 2 , …, x n образуют полную группу, следовательно, сумма их вероятностей будет равна 1: p 1 +p 2 +…+p n =1 .

Дискретная случайная величина X - коэффициент финансовой устойчивости банка «А»,Y - банка «В», Z - банка «С» за заданный период. В целях получения результата, дающего основание сделать вывод об устойчивости развития банков, оценка была осуществлена на базе 12-летнего ретроспективного периода (табл.1).

Таблица 1

Порядковый номер годаБанк «А»Банк «В»Банк «С» 11,3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,01771,1121,1151,02981,3111,3281,06591,2451,1911,145101,5701,2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3281,296Шаг0,07550,04230,0485

Для каждой выборке по определенному банку значения разбиты на N интервалов, определены минимальное и максимальное значение. Процедура определения оптимального числа групп основана на применении формулы Стерджесса:

N =1+3,322 * ln N;

N =1+3,322 * ln12=9,525?10,

Где n - число групп;

N - число совокупности.

h=(КФУ max - КФУ min ) / 10.

Таблица 2

Границы интервалов значений дискретных случайных величин X, Y, Z (коэффициентов финансовой устойчивости) и частоты появлений данных значений в обозначенных границах

Номер интервалаГраницы интерваловЧастота появлений (n )XYZXYZ 10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Исходя из найденного шага интервала, были рассчитаны границы интервалов путем прибавления к минимальному значению найденного шага. Полученное значение - это граница первого интервала (левая граница - LG). Для нахождения второго значения (правой границы PG) к найденной первой границе снова прибавляет я шаг и т.д. Граница последнего интервала совпадает с максимальным значением:

LG 1 =КФУ min ;

PG 1 =КФУ min +h;

LG 2 =PG 1;

PG 2 =LG 2 +h;

PG 10 =КФУ max .

Данные по частоте попадания коэффициентов финансовой устойчивости (дискретных случайных величин X, Y, Z) сгруппированы в интервалы, и определена вероятность попадания их значений в заданные границы. При этом левое значение границы входит в интервал, а правое - нет (табл.3).

Таблица 3

Распределение дискретных случайных величин X, Y, Z

ПоказательЗначения показателяБанк «А»X 0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X) 0,083000,3330,0830,1670,250000,083Банк «В»Y 0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y) 0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Банк «С»Z 0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z) 0,1670000,4170,2500,083000,083

По частоте появлений значений n найдены их вероятности (частота появления делится на 12, исходя из числа единиц совокупности), а также в качестве значений дискретных случайных величин были использованы середины интервалов. Законы их распределения:

P i = n i /12;

X i = (LG i +PG i )/2.

На основании распределения можно судить о вероятности неустойчивого развития каждого банка:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Так с вероятностью 0,083 банк «А» может достигнуть значения коэффициента финансовой устойчивости, равное 0,853. Другими словами, вероятность того, что его расходы превысят доходы, составляет 8,3 %. По банку «В» вероятность падения коэффициента ниже единицы также составила 0,083, однако с учетом динамичного развития организации это снижение все же окажется незначительным - до 0,926. Наконец, высока вероятность (16,7%), что деятельность банка «С», при прочих равных условиях, охарактеризуется значением финансовой устойчивости, равным 0,835.

В то же время по таблицам распределений можно увидеть вероятность устойчивого развития банков, т.е. сумму вероятностей, где варианты коэффициентов имеют значение, большее 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Можно наблюдать, что наименее устойчивое развитие ожидается в банке «С».

В целом закон распределения задает случайную величину, однако чаще целесообразнее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Их называют числовыми характеристиками случайной величины, к ним относится математическое ожидание. Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины и оно тем больше приближается к среднему значению, чем больше было проведено испытаний.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных величин на ее вероятности:

M(X) = x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

Результаты расчетов значений математических ожиданий случайных величин представлены в табл.4.

Таблица 4

Числовые характеристики дискретных случайных величин X, Y, Z

БанкМатематическое ожиданиеДисперсияСреднее квадратическое отклонение «А»M(X) = 1,187D(X) =0,027?(x) = 0,164«В»M(Y) = 1,124D(Y) = 0,010?(y) = 0,101«С»M(Z) = 1,037D(Z) = 0,012?(z) = 0,112

Полученные математические ожидания позволяют оценить средние значения ожидаемых вероятных значений коэффициента финансовой устойчивости в будущем.

Так по расчетам можно судить, что математическое ожидание устойчивого развития банка «А» составляет 1,187. Математическое ожидание банков «В» и «С» составляет 1,124 и 1,037 соответственно, что отражает предполагаемую доходность их работы.

Однако, зная лишь математическое ожидание, показывающее «центр» предполагаемых возможных значений случайной величины - КФУ, еще нельзя судить ни о его возможных уровнях, ни о степени их рассеянности вокруг полученного математического ожидания.

Другими словами, математическое ожидание в силу своей природы полностью устойчивости развития банка не характеризует. По этой причине возникает необходимость вычисления других числовых характеристик: дисперсии и среднеквадратического отклонения. Которые позволяют оценить степень рассеянности возможных значений коэффициента финансовой устойчивости. Математические ожидания и средние квадратические отклонения позволяют оценить интервал, в котором будут находиться возможные значения коэффициентов финансовой устойчивости кредитных организаций.

При сравнительно высоком характерном значении математического ожидания устойчивости по банку «А» среднее квадратическое отклонение составило 0,164, что говорит о том, что устойчивость банка может либо повыситься на эту величину, либо снизиться. При отрицательном изменении устойчивости (что все же маловероятно, учитывая полученную вероятность убыточной деятельности, равную 0,083) коэффициент финансовой устойчивости банка останется положительным - 1, 023 (см. табл. 3)

Деятельность банка «В» при математическом ожидании в 1,124, характеризуется меньшим размахом значений коэффициента. Так, даже при неблагоприятном стечении обстоятельств банк останется устойчивым, поскольку среднее квадратическое отклонение от прогнозируемого значения составило 0, 101, что позволит ему остаться в положительной зоне доходности. Следовательно, можно сделать вывод об устойчивости развития данного банка.

Банк «С», напротив, при невысоком математическом ожидании своей надежности (1, 037) столкнется при прочих равных условиях с недопустимым для него отклонением, равным 0,112. При неблагоприятной ситуации, а также учитывая высокий процент вероятности убыточной деятельности (16,7%), данная кредитная организация, скорее всего, снизит свою финансовую устойчивость до 0,925.

Важно заметить, что, сделав выводы об устойчивости развития банков, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет коэффициент финансовой устойчивости в итоге испытания; это зависит от многих причин, учесть которые невозможно. С этой позиции о каждой случайной величине мы располагаем весьма скромными сведениями. В связи с чем вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин.

Однако оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Оценивая устойчивость развития банков, остается оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа ?. Дать интересующую нас оценку позволяет неравенство П.Л. Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ? не меньше, чем :

или в случае обратной вероятности:

Учитывая риск, связанный с потерей устойчивости, проведем оценку вероятности отклонения дискретной случайной величины от математического ожидания в меньшую сторону и, считая равновероятностными отклонения от центрального значения как в меньшую, так и в большую стороны, перепишем неравенство еще раз:

Далее, исходя из поставленной задачи необходимо оценить вероятность того, что будущее значение коэффициента финансовой устойчивости не окажется ниже 1 от предлагаемого математического ожидания (для банка «А» значение ? примем равное 0,187, для банка «В» - 0,124, для «С» - 0.037) и произведем расчет данной вероятности:

банк «А»:

банк «С»:

Согласно неравенству П.Л. Чебышева, наиболее устойчивым в своем развитии является банк «В», поскольку вероятность отклонения ожидаемых значений случайной величины от ее математического ожидания невысокая (0,325), при этом она сравнительно меньше, чем по другим банкам. На втором месте по сравнительной устойчивости развития располагается банк «А», где коэффициент этого отклонения несколько выше, чем в первом случае (0,386). В третьем банке вероятность того, что значение коэффициента финансовой устойчивости отклониться в левую сторону от математического ожидания больше чем на 0, 037, является практически достоверным событием. Тем более, если учесть, что вероятность не может быть больше 1, превышающие значения, согласно доказательству Л.П. Чебышева, необходимо принимать за 1. Другими словами, факт того, что развитие банка может перейти в неустойчивую зону, характеризующуюся коэффициентом финансовой устойчивости меньше 1, является достоверным событием.

Таким образом, характеризуя финансовое развитие коммерческих банков, можно сделать следующие выводы: математическое ожидание дискретной случайной величины (среднее ожидаемое значение коэффициента финансовой устойчивости) банка «А» равно 1,187. Среднее квадратическое отклонение этой дискретной величины составляет 0,164, что объективно характеризует небольшой разброс значений коэффициента от среднего числа. Однако степень неустойчивости этого ряда подтверждается достаточно высокой вероятностью отрицательного отклонения коэффициента финансовой устойчивости от 1, равной 0,386.

Анализ деятельности второго банка показал, что математическое ожидание КФУ равно 1,124 при среднем квадратическом отклонении 0,101. Таким образом, деятельность кредитной организации характеризуется небольшим разбросом значений коэффициента финансовой устойчивости, т.е. является более концентрированной и стабильной, что подтверждается сравнительно низкой вероятностью (0,325) перехода банка в зону убыточности.

Устойчивость банка «С» характеризуется невысоким значением математического ожидания (1,037) и также небольшим разбросом значений (среднеквадратическое отклонение равно 0,112). Неравенство Л.П. Чебышева доказывает тот факт, что вероятность получения отрицательного значения коэффициента финансовой устойчивости равна 1, т.е. ожидание положительной динамики его развития при прочих равных условиях будет выглядеть весьма необоснованным. Таким образом, предложенная модель, базирующаяся на определении существующего распределения дискретных случайных величин (значений коэффициентов финансовой устойчивости коммерческих банков) и подтверждаемая оценкой их равновероятностного положительного или отрицательного отклонения от полученного математического ожидания, позволяет определить ее текущий и перспективный уровень.

Заключение

Применение математики в экономической науке, дало толчок в развитии как самой экономической науке, так и прикладной математике, в части методов экономико-математической модели. Пословица говорит: «Семь раз отмерь - Один раз отрежь». Использование моделей есть время, силы, материальные средства. Кроме того, расчёты по моделям противостоят волевым решениям, поскольку позволяют заранее оценить последствия каждого решения, отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные. Экономико-математическое моделирование основывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объекта посредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простого и доступного объекта, его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов; во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведения отдельных показателей; в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

В работе было выяснено, что экономико-математические модели можно разделить по признакам:

·целевого назначения;

·учета фактора времени;

·длительности рассматриваемого периода;

·цели создания и применения;

·учета фактора неопределенности;

·типа математического аппарата;

Описание экономических процессов и явлений в виде экономико-математических моделей базируется на использовании одного из экономико-математических методов, которые применяются на всех уровнях управления.

Особенно большую роль приобретают экономико-математические методы по мере внедрения информационных технологий во всех областях практики. Также были рассмотрены основные этапы процесса моделирования, а именно:

·постановка экономической проблемы и ее качественный анализ;

·построение математической модели;

·математический анализ модели;

·подготовка исходной информации;

·численное решение;

·анализ численных результатов и их применение.

В работе была представлена статья кандидата экономических наук, доцента кафедры финансов и кредита С.В. Бойко, в которой отмечается, что перед отечественными кредитными организациями, подверженными влиянию внешней среды, стоит задача поиска управленческих инструментов, предполагающих реализацию рациональных антикризисных мер, направленных на стабилизацию темпов роста базовых показателей их деятельности. В этой связи повышается важность адекватного определения финансовой устойчивости с помощью различных методик и моделей, одной из разновидностей которых являются стохастические (вероятностные) модели, позволяющие не только выявить предполагаемые факторы роста или снижения устойчивости, но и сформировать комплекс превентивных мероприятий по ее сохранению.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

Список литературы

1)Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. -4-е изд., испр. - М.: Дело, 2003.

)Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. - М.: Наука, 2007.

)Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.

)Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.М. и др. Математическое моделирование экономических процессов. - М.: Агропромиздат, 1990.

)Под ред. Федосеева В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели:Учебное пособие для ВУЗов. - М.: ЮНИТИ, 2001.

)Савицкая Г.В. Экономический анализ: Учебник. - 10-е изд., испр. - М.:Новое знание, 2004.

)Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002

)Исследование операций. Задачи, принципы, методология: учеб. пособие для вузов / Е.С. Вентцель. - 4-е изд., стереотип. - М. :Дрофа, 2006. - 206, с. : ил.

) Математика в экономике: учебное пособие/ С.В.Юдин. - М.: Изд-во РГТЭУ,2009.-228 с.

)Кочетыгов А.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие/ Тул. Гос. Ун-т. Тула, 1998. 200с.

)Бойко С.В, Вероятностные модели в оценке финансовой устойчивости кредитных организаций /С.В. Бойко// Финансы и кредит. - 2011. N 39. -

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

• Содержание
• Введение
• 1. Математические модели
• 1.1 Классификация экономико-математических моделей
• 2. Оптимизационное моделирование
• 2.1 Линейное программирование
• 2.1.1 Линейное программирование как инструмент математического моделирования экономики
• 2.1.2 Примеры моделей линейного программирования
• 2.2.3 Оптимальное распределение ресурсов
• Заключение

Введение

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Математика стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчёта, но также методом точного исследования и средством предельно чёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. экономический математический линейный моделирование

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества пользуется разнообразными количественными характеристиками, а поэтому вобрала в себя большое число математических методов.

Актуальность данной темы состоит в том, что в современной экономике используются оптимизационные методы, которые составляют основу математического программирования, теории игр, сетевого планирования, теории массового обслуживания и других прикладных наук.

Изучение экономических приложений математических дисциплин, составляющих основу актуальной экономической математики, позволяет приобрести некоторые навыки решения экономических задач и расширить знания в этой области.

Целью данной работы является изучение некоторых оптимизационных методов, применяемых при решении экономической задач.

1. Математические модели

Математические модели в экономике. Широкое использование математических моделей является важным направлением совершенствования экономического анализа. Конкретизация данных или представление их в виде математической модели помогает выбрать наименее трудоёмкий путь решения, повышает эффективность анализа.

Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу - значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов.

Самыми существенными моментами при постановке и решении экономических задачах в виде математической модели являются:

· адекватность экономико-математической модели действительности;

· анализ закономерностей, соответствующих данному процессу;

· определение методов, с помощью которых можно решить задачу;

· анализ полученных результатов или подведение итога.

Под экономическим анализом понимается, прежде всего, факторный анализ.

Пусть y=f(x i) - некоторая функция, характеризующая изменение показателя или процесса; x 1 ,x 2 ,…,x n - факторы, от которых зависит функция y=f(x i). Задана функциональная детерминированная связь показателя y с набором факторов. Пусть показатель y изменился за анализируемый период. Требуется определить, какой частью численное приращение функции y=f(x 1 ,x 2 ,…,x n) обязано приращению каждого фактора.

Можно выделить в экономическом анализе - анализ влияния производительности труда и численности, работающих на объем произведенной продукции; анализ влияния величины прибыли основных производственных фондов и нормируемых оборотных средств на уровень рентабельности; анализ влияния заемных средств на маневренность и независимость предприятия и т. п..

В экономическом анализе, кроме задач, сводящихся к разбиению его на составляющие части, существует группа задач, где требуется функционально увязать ряд экономических характеристик, т.е. построить функцию, содержащую в себе основное качество всех рассматриваемых экономических показателей.

В этом случае ставится обратная задача- так называемая задача обратного факторного анализа.

Пусть имеется набор показателей x 1 ,x 2 ,…,x n , характеризующих некоторый экономический процесс F. Каждый из показателей характеризует этот процесс. Требуется построить функцию f(x i) изменения процесса F, содержащую основные характеристики всех показателей x 1 ,x 2 ,…,x n

Главный момент в экономическом анализе - определение критерия, по которому будут сравниваться различные варианты решения.

Математические модели в менеджменте. Во всех сферах человеческой деятельности большую роль играет принятие решений. Для постановки задачи принятия решения необходимо выполнить два условия:

· наличие выбора;

· выбор варианта по определенному принципу.

Известны два принципа выбора решения: волевой и критериальный.

Волевой выбор, наиболее часто используемый, применяют при отсутствии формализованных моделей как единственно возможный.

Критериальный выбор заключается в принятии некоторого критерия и сравнении возможных вариантов по этому критерию, Вариант, для которого принятый критерий принимает наилучшее решение, называют оптимальным, а задачу принятия наилучшего решения - задачей оптимизации.

Критерий оптимизации называют целевой функцией.

Любую задачу, решение которой сводится к нахождению максимума или минимума целевой функции, называют экстремальной задачей.

Задачи менеджмента связаны с нахождением условного экстремума целевой функции при известных ограничениях, накладываемых на ее переменные.

В качестве целевой функции при решении различных оптимизационных задач принимают количество или стоимость выпускаемой продукции, затрат на производство, сумму прибыли и т.п. Ограничения обычно касаются людских материальных, денежных ресурсов.

Оптимизационные задачи менеджмента, различные по своему содержанию и реализуемые с использованием стандартных программных продуктов, соответствуют тому или иному классу экономико-математических моделей.

Рассмотрим классификацию некоторых основных задач оптимизации, реализуемых менеджментом на производстве.

Классификация задач оптимизации по функции управления:

Таблица 1.

Сочетание различных элементов модели приводит к различным классам задач оптимизации:

Таблица 2.

1.1 Классификация экономико-математических моделей

Существует значительное разнообразие видов, типов экономико-математических моделей, необходимых для использования в управлении экономическими объектами и процессами. Экономико-математические модели подразделяются на: макроэкономические и микроэкономические в зависимости от уровня моделируемого объекта управления, динамические, которые характеризуют изменения объекта управления во времени, и статические, которые описывают взаимосвязи между разными параметрами, показателями объекта именно в то время. Дискретные модели отображают состояние объекта управления в отдельные, фиксированные моменты времени. Имитационными называют экономико-математические модели, используемые с целью имитации управляемых экономических объектов и процессов с применением средств информационной и вычислительной техники. По типу математического аппарата, применяемого в моделях, выделяются экономико-статистические, модели линейного и нелинейного программирования, матричные модели, сетевые модели.

Факторные модели. В группу экономико-математических факторных моделей входят модели, которые с одной стороны включают экономические факторы, от которых зависит состояние управляемого экономического объекта, а с другой - зависимые от этих факторов параметры состояния объекта. Если факторы известны, то модель позволяет определить искомые параметры. Факторные модели чаще всего предоставлены простыми в математическом отношении линейными или статическими функциями, которые характеризуют связь между факторами и зависимыми от них параметрами экономического объекта.

Балансовые модели. Балансовые модели как статистические, так и динамические широко применяются в экономико-математическом моделировании. В основе создания этих моделей лежит балансовый метод - метод взаимного сопоставления материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Описывая экономическую систему в целом, под её балансовой моделью понимают систему уравнений, каждое из которых выражает потребность баланса между изготовленными отдельными экономическими объектами количества продукции и совокупной потребностью в этой продукции. При таком подходе экономическая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт. Если вместо понятия «продукт» ввести понятие «ресурс», то под балансовой моделью необходимо понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требования между определенным ресурсом и его использованием.

Наиболее важные виды балансовых моделей:

· Материальные, трудовые и финансовые балансы для экономики в целом и отдельных ее отраслей;

· Межотраслевые балансы;

· Матричные балансы предприятий и фирм.

Оптимизационные модели. Большой класс экономико-математических моделей образуют оптимизационные модели, которые позволяют выбрать из всех решений наилучший оптимальный вариант. В математическом содержании оптимальность понимается как достижение экстремума критерия оптимальности, называемой также целевой функцией. Оптимизационные модели чаще всего используются в задачах нахождения лучшего способа использования экономических ресурсов, что позволяет достичь максимального целевого эффекта. Математическое программирование образовалось на основе решения задачи про оптимальный раскрой листов фанеры, что обеспечивает наиболее полное использование материала. Поставив такую задачу, известный российский математик и экономист академик Л.В. Канторович был признан достойным Нобелевской премии в экономике.

2. Оптимизационное моделирование

2.1 Линейное программирование

2.1.1 Линейное программирование как инструмент математического моделирования экономики

Исследование свойств общей системы линейных неравенств ведется с XIX в., а первая оптимизационная задача с линейной целевой функцией и линейными ограничениями была сформулирована в З0-е годы XX в. Одним из первых зарубежных ученых, заложивших основы линейного программирования, является Джон фон Нейман, широко известный математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх. Среди отечественных ученых большой вклад в теорию линейной оптимизации внесли лауреат Нобелевской премии Л.В. Канторович, Н.Н. Моисеев, Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин и многие другие.

Линейное программирование традиционно считается одним из разделов исследования операций, который изучает методы нахождения условного экстремума функций многих переменных.

В классическом математическом анализе исследуется общая постановка задачи определения условного экстремума, однако в связи с развитием промышленного производства, транспорта, агропромышленного комплекса, банковского сектора традиционных результатов математического анализа оказалось недостаточно. Потребности практики и развитие вычислительной техники привели к необходимости определения оптимальных решений при анализе сложных экономических систем. Главным инструментом для решения таких задач является математическое моделирование, т.е. формализованное описание изучаемого процесса и исследование его с помощью математического аппарата.

Искусство математического моделирования состоит в том, чтобы учесть как можно более широкий спектр факторов, влияющих на поведение объекта, используя при этом по возможности несложные соотношения. Именно в связи с этим процесс моделирования часто носит многоэтапный характер. Сначала строится относительно простая модель, затем проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из интегрирующих свойств объекта не улавливаются данной формальной схемой, после чего за счет усложнения модели обеспечивается большая ее адекватность реальности. При этом во многих случаях первым приближением к действительности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, являются линейными. Практика показывает, что значительное количество экономических процессов достаточно полно описывается линейными моделями, а следовательно, линейное программирование как аппарат, позволяющий отыскивать условный экстремум на множестве, заданном линейными уравнениями и неравенствами, играет важную роль при анализе этих процессов.

2.1.2 Примеры моделей линейного программирования

Ниже будут рассмотрены несколько ситуаций, исследование которых возможно с применением средств линейного программирования. Так как основным показателем в этих ситуациях является экономический -- стоимость, то соответствующие модели являются экономико-математическими.

Задача о раскрое материалов. На обработку поступает материал одного образца в количестве d единиц. Требуется изготовить из него к разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам а 1 ,..., а к. Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, при этом использование i-го способа (i=1,…,n) дает b ij , единиц j-го изделия (j = 1,...,k).

Требуется найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Экономико-математическая модель этой задачи может быть сформулирована следующим образом. Обозначим x i -- число единиц материалов, раскраиваемых i-м способом, и x -- число изготавливаемых комплектов изделий.

Учитывая, что общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, получим:

Условие комплектности выразится уравнениями:

Очевидно, что

x i 0 (i=1,…,n)(3)

Целью является определить такое решение Х= (x 1 ,…,x n), удовлетворяющее ограничениям (1)-(3), при котором функция F = x принимает максимальное значение. Проиллюстрируем рассмотренную задачу следующим примером Для изготовления брусьев длиной 1,5 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 200 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов. Чтобы сформулировать соответствующую оптимизационную задачу линейного программирования, определим все возможные способы распила бревен, указав соответствующее число получаемых при этом брусьев (табл. 1).

Таблица 1

Обозначим через x i -- число бревен, распиленных i-м способом (i = 1.2, 3, 4); х --число комплектов брусьев.

С учетом того, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, оптимизационная экономико-математическая модель примет следующий вид х > max при ограничениях:

x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =200

x i 0 (i=1,2,3,4)

Задача выбора оптимальной производственной программы предприятия. Пусть предприятие может выпускать n различных видов продукции. Для выпуска этих видов продукции предприятие использует М видов материально-сырьевых ресурсов и N видов оборудования. Необходимо определить объемы производства предприятия (т.е. его производственную программу) на заданном интервале планирования , чтобы максимизировать валовую прибыль предприятия.

где a i -- цена реализации продукции вида i;

b i -- переменные затраты на выпуск одной единицы продукции вида i;

Zp -- условно постоянные затраты, которые будем предполагать независимыми от вектора х = (x 1 ,..., x n).

При этом должны быть выполнены ограничения на объемы используемых материально-сырьевых ресурсов и время использования оборудования на интервале .

Обозначим через Lj(j = l,...,M) объем запасов материально-сырьевых ресурсов вида j, а через ф k (k = 1,..., N) -- время, в течение которого может быть использовано оборудование вида k. Известно потребление материально-сырьевых ресурсов вида j на выпуск одной единицы продукции вида i, которое обозначим через l ij (i = 1,..., n; j = 1,...,М). Известно также t ik -- время загрузки одной единицы оборудования вида k изготовления одной единицы продукции вида i (i = 1,..., n; k = 1,..., N). Через m k обозначим количество единиц оборудования вида k (k=l,...,N).

При введенных обозначениях ограничения на объем потребляемых материально-сырьевых ресурсов могут быть заданы таким образом:

Ограничения на производственные мощности задаются следующими неравенствами

Кроме того, переменные

x i ?0 i=1,…,n (7)

Таким образом, задача выбора производственной программы, максимизирующей прибыль, заключается в выборе такого плана выпуск х = (х 1 ...,х n), который удовлетворял бы ограничениям (5)-(7) и максимизировал бы функцию (4).

В некоторых случаях предприятие должно поставить заранее оговоренные объемы продукции Vt другим хозяйствующим субъектам и тогда в рассматриваемой модели вместо ограничения (1.7) может быть включено ограничение вида:

x t > Vt i= 1, ...,n.

Задача о диете. Рассмотрим задачу составления душевого рациона питания минимальной стоимости, которое бы содержало определенные питательные вещества в необходимых объемах. Будем предполагать, что имеется известный перечень продуктов из n наименований (хлеб, сахар, масло, молоко, мясо и т.д.), которые мы будем обозначать буквами F 1 ,...,F n . Кроме того, рассматриваются такие характеристики продуктов (питательные вещества), как белки, жиры, витамины, минеральные вещества и другие. Обозначим эти компоненты буквами N 1 ,...,N m . Предположим, что для каждого продукта F i известно (i = 1,...,n) количественное содержание в одной единице продукта указанных выше компонент. В этом случае можно составить таблицу, содержащую характеристику продуктов:

F 1 ,F 2 ,…F j …F n

N 1 a 11 a 12 …a 1j …a 1N

N 2 a 21 a 22 …a 2j …a 2N

N i a i1 a i2 …a ij …a iN

N m a m1 a m2 …a mj …a mN

Элементы этой таблицы образуют матрицу, имеющую m строк и n столбцов. Обозначим ее через A и назовем матрицей питательности. Предположим, что мы составили рацион х = (х 1 ,x 2 ,...,х n) на некоторый период (например, месяц). Иными словами, мы планируем каждому человеку на месяц х, единиц (килограммов) продукта F 1 ,x 2 единиц продукта F 2 и т.д. Нетрудно вычислить, какое количество витаминов, жиров, белков и прочих питательных веществ получит человек за этот период. Например, компонента N 1 присутствует в этом рационе в количестве

a 11 x 1 + a 12 x 2+…+ a 1n x n

поскольку согласно условию в x 1 единицах продукта F 1 согласно матрице питательности содержится a 11 x 1 единиц компоненты N 1 ; к этому количеству добавляется порция а 12 x 2 вещества N 1 из х 2 единиц продукта F 2 и т.д. Аналогично можно определить и количество всех остальных веществ N i в составляемом рационе (х 1 ,..., х n).

Допустим, что имеются определенные физиологические требования, касающиеся необходимого количества питательных веществ в N i (i/ = 1,..., N) в планируемый срок. Пусть эти требования заданы вектором b = (b 1 ...,b n), i-я компонента которого b i указывает минимально необходимое содержание компонента N i в рационе. Это означает, что коэффициенты x i вектора х должны удовлетворять следующей системе ограничений:

a 11 x 1 + a 12 x 2+…+ a 1n x n ?b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2+…+ a 2n x n ?b 2 (8)

a m1 x 1 + a m2 x 2+…+ a mn x n ?b m

Кроме того, из содержательного смысла задачи очевидно, что все переменные х 1 ,...,х n неотрицательны и поэтому к ограничениям (8) добавляются еще неравенства

x 1 ?0; x 2 ?0;… x n ?0; (9)

Учитывая, что в большинстве случаев ограничениям (8) и (9) удовлетворяет бесконечно много рационов, выберем тот из них, стоимость которого минимальна.

Пусть цены на продукты F 1 ,...,F n равны соответственно с 1 ,…,c n

Следовательно, стоимость всего рациона х = (х 1 ..., х n) может быть записана в виде

c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+ c n x n >min (10)

Окончательно формулировка задачи о диете заключается в том, чтобы среди всех векторов х = (x 1 ,...,х n) удовлетворяющих ограничениям (8) и (9) выбрать такой, для которого целевая функция (10) принимает минимальное значение.

Транспортная задача. Имеется m пунктов S 1 ,..., S m производства однородного продукта (угля, цемента, нефти и т.п.), при этом объем производства в пункте S i равен a i единиц. Произведенный продукт потребляется в пунктах Q 1 ...Q n и потребность в нем в пункте Q j составляет k j единиц (j = 1,...,n). Требуется составить план перевозок из пунктов S i (i = 1,...,m) в пункты Q j (j = 1,..., n), чтобы удовлетворить потребности в продукте b j , минимизировав транспортные расходы.

Пусть стоимость перевозок одной единицы продукта из пункта S i в пункт Q i равна c ij . Будем далее предполагать, что при перевозке х ij единиц продукта из S i в Q j транспортные расходы равны c ij x ij.

Назовем планом перевозок набор чисел х ij c i = 1,..., m; j = 1,..., n, удовлетворяющий ограничениям:

x ij ?0, i=1,2,…,m; j=1,…,n (11)

При плане перевозок (х ij) транспортные расходы составят величину

Окончательное формирование транспортной задачи таково: среди всех наборов чисел (х ij), удовлетворяющих ограничениям (11), найти набор, минимизирующий (12).

2.1.3 Оптимальное распределение ресурсов

Класс задач, рассматриваемый в данной главе, имеет многочисленные практические приложения.

В общем виде эти задачи могут быть описаны следующим образом. Имеется некоторое количество ресурсов, под которыми можно понимать денежные средства, материальные ресурсы (например, сырье, полуфабрикаты, трудовые ресурсы, различные виды оборудования и т. п.). Эти ресурсы необходимо распределить между различными объектами их использования по отдельным промежуткам планового периода или по различным промежутками по различным объектам так, чтобы получить максимальную суммарную эффективность от выбранного способа распределения. Показателем эффективности может служить, например, прибыль, товарная продукция, фондоотдача (задачи максимизации) или суммарные затраты, себестоимость, время выполнения данного объема работ и т. п. (задачи минимизации).

Вообще говоря, подавляющее число задач математического программирования вписывается в общую постановку задачи оптимального распределения ресурсов. Естественно, что при рассмотрении моделей и вычислительных схем решения подобных задач методом ДП необходимо конкретизировать общую форму задачи распределения ресурсов.

В дальнейшем будем предполагать, что условия, необходимые для построения модели ДП, в задаче выполняются. Опишем типичную задачу распределения ресурсов в общем виде.

Задача 1. Имеется начальное количество средств, которое необходимо распределить в течение п лет между s предприятиями. Средства (k=1, 2,…,n; i=1,…, s), выделенные в k-м году i-му предприятию, приносят доход в размере и к концу года возвращаются в количестве. В последующем распреелении доход может либо участвовать (частично или полностью), либо не участвовать.

Требуется определить такой способ распределения ресурсов (количество средств, выделяемых каждому предприятию в каждом плановом году), чтобы суммарный доход от s предприятий за п лет был максимальным.

Следовательно, в качестве показателя эффективности процесса распределения ресурсов за п лет принимается суммарный доход, полученный от s предприятий:

Количество ресурсов в начале k-го года будем характеризовать величиной (параметр состояния). Управление на k-м шаге состоит в выборе переменных обозначающих ресурсы, выделяемые в k-м году i-му предприятию.

Если предположить, что доход в дальнейшем распределении не участвует, то уравнение состояния процесса имеет вид

Если же некоторая часть дохода участвует в дальнейшем распределении в каком-нибудь году, то к правой части равенства (4.2) прибавляется соответствующая величина.

Требуется определить ns неотрицательных переменных, удовлетворяющих условиям (4.2) и максимизирующих функцию (4.1).

Вычислительная процедура ДП начинается с введения функции, обозначающей доход, полученный за п--k+1 лет, начиная с k-го года до конца рассматриваемого периода, при оптимальном распределении средств между s предприятиями, если в k-м году распределялось средств. Функции для k=1, 2, ...n-1 удовлетворяют функциональным уравнениям (2.2), которые запишутся в виде:

При k=n согласно (2.2) получаем

Далее необходимо последовательно решить уравнения (4.4) и (4.3) для всех возможных (k = n--1, п--2, 1). Каждое из этих уравнений представляет собой задачу на оптимизацию функции, зависящей от s переменных. Таким образом, задача с ns переменными сведена к последовательности п задач, каждая из которых содержит s переменных. В этой общей постановке задача по-прежнему сложна (из-за многомерности) и упростить ее, рассматривая как ns-шаговую задачу, в данном случае нельзя. В самом деле, попробуем это сделать. Пронумеруем шаги по номерам предприятий сначала в 1-м году, затем во 2-м и т. д.:

и будем пользоваться одним параметром для характристики остатка средств.

В течение k-го года состояние " к началу любого шага s(k-1)_+i (i=1,2,…,s) определится по предыдущему состоянию с помощью простого уравнения. Однако по истечении года, т.е. к началу следующего года, к наличным средствам необходимо будет добавить средств и, следовательно, состояние в начале (ks+1)-гo шага будет зависеть не только от предшествующего ks-гo состояния, но и от всех s состояний и управлений за прошлый год. В результате мы получим процесс с последействием. Чтобы исключить последействие, приходится вводить несколько параметров состояний; задача на каждом шаге остается по-прежнему сложной из-за многомерности.

Задача 2. Планируется деятельность двух предприятий (s=2) в течение п лет. Начальные средства составляют. Средства х, вложенные в предприятие I, приносят к концу года доход f 1 (x) и возвращаются в размере аналогично, средства х, вложенные в предприятие II, дают доход f 2 (x) и возвращаются в размере. По истечении года все оставшиеся средства заново перераспределяются между предприятиями I и II, новых средств не поступает и доход в производство не вкладывается.

Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств.

Будем рассматривать процесс распределения средств как n-шаговый, в котором номер шага соответствует номеру года. Управляемая система -- два предприятия с вложенными в них средствами. Система характеризуется одним параметром состояния --количеством средств, которые следует перераспределить в начале k-гo года. Переменных управления на каждом шаге две: -- количество средств, выделенных соответственно предприятию I и II. Так как средства ежегодно перераспределяются полностью, то). Для каждого шага задача становится одномерной. Обозначим через, тогда

Показатель эффективности k-гo шага равен. Это -- доход, полученный от двух предприятий в течение k-гo года.

Показатель эффективности задачи -- доход, полученный от двух предприятий в течение п лет -- составляет

Уравнение состояния выражает остаток средств после k-гo шага и имеет вид

Пусть --условный оптимальный доход, полученный от распределения средств между двумя предприятиями за n--k+1 лет, начиная с k-гo года до конца рассматриваемого периода. Запишем рекуррентные соотношения для этих функций:

где - определяется из уравнения состояния (4.6).

При дискретном вложении ресурсов может возникнуть вопрос о выборе шага Дх в изменении переменных управления. Этот шаг может быть задан или определяется исходя из требуемой точности вычислений и точности исходных данных. В общем случае эта задача сложна, требует интерполирования по таблицам на предыдущих шагах вычисления. Иногда предварительный анализ уравнения состояния позволяет выбрать подходящий шаг Дх, а также установить предельные значения, для которых на каждом шаге нужно выполнить табулирование.

Рассмотрим двумерную задачу, аналогичную предыдущей, в которой строится дискретная модель ДП процесса распределения ресурсов.

Задача 3. Составить оптимальный план ежегодного распределения средств между двумя предприятиями в течение трехлетнего планового периода при следующихусловиях:

1) начальная сумма составляет 400;

2) вложенные средства в размере х приносят на предприятии I доход f 1 (x) и возвращаются в размере 60% от х, а на предприятии II -- соответственно f2(x) и 20%;

3) ежегодно распределяются все наличные средства, получаемые из возвращенных средств:

4) функции f 1 (x) и f2(x)заданы в табл. 1:

Модель динамического программирования данной задачи аналогична модели, составленной в задаче 1.

Процесс управления является трехшаговым. Параметр -- средства, подлежащие распределению в k-м году (k=l, 2, 3). Переменная управления -- средства, вложенные в предприятие I в k-м году. Средства, вложенные в предприятие II в k-м году, составляют Следовательно, процесс управления на k-м шаге зависит от одного параметра (модель одномерная). Уравнение состояния запишется в виде

А функциональные уравнения в виде

Попытаемся определить максимально возможные значения, для которых необходимо проводить табулирование на k-м шаге (k=l, 2, 3). При =400 из уравнения (4.8) определяем максимально возможное значение имеем = 0,6*400=2400 (все средства вкладываются в предприятие I). Аналогично, для получаем предельное значение 0,6*240 = 144. Пусть интервал изменения совпадает с табличным, т. е. Дх =50. Составим таблицу суммарной прибыли на данном шаге:

Это облегчит дальнейшие расчеты. Так как то клетки, расположенные по диагонали таблицы, отвечают одному и тому же значению, указанному в 1-й строке (в 1-м столбце) табл. 2. Во 2-й строке таблицы записаны значения f 1 (x), а во 2-м столбце -- значения f 2 (у)взятые из табл. 1.Значения в остальных клетках таблицы получены сложением чисел f 1 (x) и f 2 (у),стоящих во 2-й строке и во 2-м столбце и соответствующих столбцу и строке, на пересечении которых находится данная клетка. Например, для =150 получаем ряд чисел: 20 --для х = 0, у=150; 18 --для х=50, у=100; 18-- для х--100, у=50; 15 -- для х= 150, у=0.

Проведем условную оптимизацию по обычной схеме. 3-й шаг. Основное уравнение (4.9)

Как указывалось выше, . Просмотрим числа на диагоналях, соответствующих =0; 50; 100; 150 и на каждой диагонали выберем наибольшее. Это и есть В 1-й строке находим соответствующее условное оптимальное управление. Данные оптимизации на 3-м шаге поместим в основную таблицу (табл. 4). В ней введен столбец Дх, который в дальнейшем используется при интерполяции.

Оптимизация 2-го шага проведена в табл. 5 согласно уравнению вида (4.10):

При этом может быть получен максимальный доход, равный Zmax=99,l. Прямой подсчет дохода по табл. 2 для найденного оптимального управления дает 97,2. Расхождение в результатах на 1,9 (около 2%) объясняется ошибкой линейной интерполяции.

Мы рассмотрели несколько вариантов задачи оптимального распределения ресурсов. Существуют другие варианты этой задачи, особенности которых учитываются соответствующей динамической моделью.

Заключение

В данной курсовой работе рассмотрены виды математических моделей, используемых в экономике и менеджменте, а также их классификация.

Особое внимание в курсовой работе уделено оптимизационному моделированию.

Изучен принцип построения моделей линейного программирования, также приведены модели следующих задач:

· Задача о раскрое материалов;

· Задача выбора оптимальной производственной программы предприятия;

· Задача о диете;

· Транспортная задача.

В работе представлены общие характеристики задач дискретного программирования, описан принцип оптимальности и уравнение Беллмана, приведено общее описание процесса моделирования.

Для построения моделей выбраны три задачи:

· Задача оптимального распределения ресурсов;

· Задача об оптимальном управлении запасами;

· Задача о замене.

В свою очередь для каждой из задач построены различные модели динамического программирования. Для отдельных задач приведены числовые расчеты, в соответствии с построенными моделями.

Список литературы :

1. Вавилов В.А., Змеев О.А., Змеева Е.Е. Электронное пособие “Исследование операций”

2. Калихман И.Л., Войтенко М.А. “Динамическое программирование в примерах и задачах”, 1979

3. Косоруков О.А., Мищенко А.В. “Исследование операций”, 2003

4. Материалы из сети Internet.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Изучение экономических приложений математических дисциплин для решения экономических задач: использование математических моделей в экономике и менеджменте. Примеры моделей линейного и динамического программирования как инструмента моделирования экономики.

курсовая работа , добавлен 21.12.2010


Основные понятия и типы моделей, их классификация и цели создания. Особенности применяемых экономико-математических методов. Общая характеристика основных этапов экономико-математического моделирования. Применение стохастических моделей в экономике.

реферат , добавлен 16.05.2012


Графическое решение задач линейного программирования. Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Возможности практического использования математического программирования и экономико-математических методов при решении экономических задач.

курсовая работа , добавлен 02.10.2014


Моделирование экономических систем: основные понятия и определения. Математические модели и методы их расчета. Некоторые сведения из математики. Примеры задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования.

лекция , добавлен 15.06.2004


Теоретические основы экономико-математических задач о смесях. Принципы построения и структура интегрированной системы экономико-математических моделей. Организационно-экономическая характеристика и технико-экономические показатели работы СПК "Родина".

курсовая работа , добавлен 01.04.2011


Теоретические основы экономико-математических методов. Этапы принятия решений. Классификация задач оптимизации. Задачи линейного, нелинейного, выпуклого, квадратичного, целочисленного, параметрического, динамического и стохастического программирования.

курсовая работа , добавлен 07.05.2013


Понятие и типы моделей. Этапы построения математической модели. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии. Оптимизационные методы математики в экономике.

реферат , добавлен 11.02.2011


Типовые модели менеджмента: примеры экономико-математических моделей и их практического использования. Процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции. Определение оптимального плана производства продуктов каждого вида.

контрольная работа , добавлен 14.01.2015


Основы составления, решения и анализа экономико-математических задач. Состояние, решение, анализ экономико-математических задач по моделированию структуры посевов кормовых культур при заданных объемах животноводческой продукции. Методические рекомендации.

методичка , добавлен 12.01.2009


Основные понятия моделирования. Общие понятия и определение модели. Постановка задач оптимизации. Методы линейного программирования. Общая и типовая задача в линейном программировании. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

При построении экономических моделей выявляются существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи.

К экономическим моделям могут относится модели:

• экономического роста
• потребительского выбора
• равновесия на финансовом и товарном рынке и многие другие.

Модель — это логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса.

Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.

Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.

Экономико-математическая модель

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели , часто объединяемые в системы моделей.

Экономико-математическая модель (ЭММ) — это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.

• Экстраполяционные модели
• Факторные эконометрические модели
• Оптимизационные модели
• Балансовые модели, модель МежОтраслевогоБаланса (МОБ)
• Экспертные оценки
• Теория игр
• Сетевые модели
• Модели систем массового обслуживания

Экономико-математические модели и методы, применяемые в экономическом анализе

R a = ЧП / ВА + ОА ,

В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:

Итак, вначале следует построить экономико-математическую модель, описывающую влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организации. Большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили многофакторные мультипликативные модели , так как они позволяют изучить влияние значительного количества факторов на обобщающие показатели и тем самым достичь большей глубины и точности анализа.

После этого нужно выбрать способ решения этой модели. Традиционные способы : способ цепных подстановок, способы абсолютных и относительных разниц, балансовый способ, индексный метод, а также методы корреляционно-регрессионного, кластерного, дисперсионного анализа, и др. Наряду с этими способами и методами в экономическом анализе используются и специфически математические способы и методы.

Интегральный метод экономического анализа

Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.

В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода этот прирост делится поровну между всеми факторами.

Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.

Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

В процессе применения интегрального метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов

d y / d x = const

При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.

Если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2 Δ x * Δ y

Z(y)= x 0 * Δ y +1/2 Δ x * Δ y

При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:

Z=x /y ;

Δ Z(x) = Δ x /Δ y Ln y1/y0

Δ Z(y)= Δ Z - Δ Z(x)

Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.

Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.

Метод логарифмирования

Кроме этого метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода заключается в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. Поэтому метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.

В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как это имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения этих показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z .

Найдем влияние каждого из этих факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:

Δf x = Δf · lg(x 1 / x 0) / lg(f 1 / f 0)

Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:

Δf y = Δf · lg(y 1 / y 0) / lg(f 1 / f 0)

Наконец, для того, чтобы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:

Δf z = Δf · lg(z 1 / z 0)/ lg(f 1 / f 0)

Таким образом, общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в соответствии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.

При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.

Метод дифференциального исчисления

При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по которой определена эта производная. Определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.

Задана функция Z = f(x,y) . Если эта функция является дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Поясним отдельные элементы этой формулы:

ΔZ = (Z 1 - Z 0) - величина изменения функции;

Δx = (x 1 - x 0) — величина изменения одного фактора;

Δ y = (y 1 - y 0) -величина изменения другого фактора;

- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Сумма влияния обоих этих факторов — это главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.

Способ долевого участия

В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.

Предположим, что мы определяем влияние трех факторов — а ,b и с на обобщающий показатель y . Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Наконец, для фактора с имеем:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.

Метод линейного программирования

Теория массового обслуживания

Теория игр

Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда относятся такие ситуации, которые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.

Для решения подобных задач в теории игр используются алгебраические методы, которые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.

Одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, является так называемый анализ чувствительности. Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.

В целях оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации необходимо заранее предусматривать те изменения, которые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.

Например, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, которые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.

Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на этот показатель, изменится.

Так, например, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж. Остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, являются при этом неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на этот показатель.

Матричный метод

Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.

Метод сетевого планирования

Экстраполяционный анализ

Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Он включает в себя рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик этой системы на будущие периоды. В процессе осуществления этого вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров этих функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.

В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, которые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.