Все формулы на тему электростатика. Основные формулы электростатики

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Основание электростатики положили работы Кулона (хотя за десять лет до него такие же результаты, даже с ещё большей точностью, получил Кавендиш . Результаты работ Кавендиша хранились в семейном архиве и были опубликованы только спустя сто лет); найденный последним закон электрических взаимодействий дал возможность Грину , Гауссу и Пуассону создать изящную в математическом отношении теорию. Самую существенную часть электростатики составляет теория потенциала , созданная Грином и Гауссом. Очень много опытных исследований по электростатике было произведено Рисом книги которого составляли в прежнее время главное пособие при изучении этих явлений.

  Диэлектрическая проницаемость

  Нахождение величины диэлектрического коэффициента K какого-либо вещества, коэффициента, входящего почти во все формулы, с которыми приходится иметь дело в электростатике, может быть произведено весьма различными способами. Наиболее употребительные способы суть нижеследующие.

  1) Сравнение электроёмкостей двух конденсаторов , имеющих одинаковые размеры и форму, но у которых у одного изолирующим слоем является слой воздуха, у другого - слой испытуемого диэлектрика .

  2) Сравнение притяжений между поверхностями конденсатора, когда этим поверхностям сообщается определённая разность потенциалов, но в одном случае между ними находится воздух (сила притяжения = F 0), в другом случае - испытуемый жидкий изолятор (сила притяжения = F). Диэлектрический коэффициент находится по формуле:

  K = F 0 F . {\displaystyle K={\frac {F_{0}}{F}}.}

  3) Наблюдения электрических волн (см. Электрические колебания), распространяющихся вдоль проволок. По теория Максвелла скорость распространения электрических волн вдоль проволок выражается формулой

  V = 1 K μ . {\displaystyle V={\frac {1}{\sqrt {K\mu }}}.}

  в которой K обозначает диэлектрический коэффициент среды, окружающей собой проволоку, μ обозначает магнитную проницаемость этой среды. Можно положить для огромного большинства тел μ = 1, а потому получается

  V = 1 K . {\displaystyle V={\frac {1}{\sqrt {K}}}.}

  Обыкновенно сравнивают длины стоячих электрических волн, возникающих в частях одной и той же проволоки, находящихся в воздухе и в испытуемом диэлектрике (жидком). Определив эти длины λ 0 и λ, получают K = λ 0 2 / λ 2. По теории Максвелла следует, что при возбуждении электрического поля в каком-либо изолирующем веществе внутри этого вещества возникают особые деформации. Вдоль трубок индукции изолирующая среда является поляризованной. В ней возникают электрические смещения, которые можно уподобить перемещениям положительного электричества по направлению осей этих трубок, причём через каждое поперечное сечение трубки проходит количество электричества, равное

  D = 1 4 π K F . {\displaystyle D={\frac {1}{4\pi }}KF.}

  Теория Максвелла даёт возможность найти выражения тех внутренних сил (сил натяжения и давления), которые являются в диэлектриках при возбуждении в них электрического поля. Этот вопрос был впервые рассмотрен самим Максвеллом, а позже и более обстоятельно Гельмгольцем . Дальнейшее развитие теории этого вопроса и тесно соединённой с этим теории электрострикции (то есть теории, рассматривающей явления, зависящие от возникновения особых напряжений в диэлектриках при возбуждении в них электрического поля) принадлежит работам Лорберга, Кирхгофа , П. Дюгема , Н. Н. Шиллера и некоторых др.

  Граничные условия

  Закончим краткое изложение наиболее существенного из отдела электрострикции рассмотрением вопроса о преломлении трубок индукции. Представим себе в электрическом поле два диэлектрика, отделяющихся друг от друга какой-нибудь поверхностью S, с диэлектрическими коэффициентами К 1 и К 2 .

  Пусть в точках Р 1 и Р 2 , расположенных бесконечно близко к поверхности S по ту и по другую её сторону, величины потенциалов выражаются через V 1 и V 2 , а величины сил, испытываемых помещенной в этих точках единицей положительного электричества чрез F 1 и F 2 . Тогда для точки Р, лежащей на самой поверхности S, должно быть V 1 = V 2 ,

  d V 1 d s = d V 2 d s , (30) {\displaystyle {\frac {dV_{1}}{ds}}={\frac {dV_{2}}{ds}},\qquad (30)}

  если ds представляет бесконечно малое перемещение по линии пересечения касательной плоскости к поверхности S в точке Р с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в этой точке и через направление электрической силы в ней. С другой стороны, должно быть

  K 1 d V 1 d n 1 + K 2 d V 2 d n 2 = 0. (31) {\displaystyle K_{1}{\frac {dV_{1}}{dn_{1}}}+K_{2}{\frac {dV_{2}}{dn_{2}}}=0.\qquad (31)}

  Обозначим через ε 2 угол, составляемый силой F2 с нормалью n2 (внутрь второго диэлектрика), и через ε 1 угол, составляемый силой F 1 с той же нормалью n 2 Тогда, пользуясь формулами (31) и (30), найдем

  t g ε 1 t g ε 2 = K 1 K 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {tg} {\varepsilon _{1}}}{\mathrm {tg} {\varepsilon _{2}}}}={\frac {K_{1}}{K_{2}}}.}

  Итак, на поверхности, отделяющей друг от друга два диэлектрика, электрическая сила претерпевает изменение в своём направлении подобно световому лучу, входящему из одной среды в другую. Это следствие теории оправдывается на опыте.

  где F - модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов величиной q 1 и q 2 , r - расстояние между зарядами,  - диэлек- трическая проницаемость среды,  0 - диэлектрическая постоянная.

  

  Напряженность электрического поля

  

  где - сила, действующая на точечный заряд q 0 , помещенный в данную точку поля.

  Напряженность поля точечного заряда (по модулю)

  

  где r - расстояние от заряда q до точки, в которой определяется напряженность.

  Напряженность поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей)

  

  где - напряженность в данной точке поля, создаваемого i-тым зарядом.

  Модуль напряженностиполя, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:

  

  где
  - поверхностная плотность заряда.

  Модуль напряженности поля плоского конденсатора в средней его части

  .

  Формула справедлива, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

  Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от нити или оси цилиндра по модулю:

  ,

  где
  - линейная плотность заряда.

  

  а) через произвольную поверхность, помещенную в неоднородное поле

  ,

  где  - угол между вектором напряженности и нормалью к элементу поверхности, dS - площадь элемента поверхности, E n - проекция вектора напряженности на нормаль;

  б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле:

  ,

  в)через замкнутую поверхность:

  ,

  где интегрирование ведется по всей поверхности.

  Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов q 1 , q 2 ... q n , охватываемых этой поверхностью, деленной на    0 .

  .

  

  

  Поток вектора электрического смещения выражается аналогично потоку вектора напряженности электрического поля:

  а) поток сквозь плоскую поверхность, если поле однородно

  

  б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

  ,

  где D n - проекция вектора на направление нормали к элементу поверхности, площадь которой равна dS .

  Теорема Гаусса. Поток вектора электрической индукции сквозь замкнутую поверхность S , охватывающую заряды q 1 , q 2 ... q n , равен

  ,

  где n - число зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности (заряды со своим знаком).

  

  Потенциальная энергия системы двух точечных зарядов Q и q при условии, что W  = 0, находится по формуле:

  W =
  ,

  где r - расстояние между зарядами. Потенциальная энергия положительна при взаимодействии одноименных зарядов и отрицательна при взаимодействии разноименных.

  Потенциал электрического поля, созданного точечным зарядом Q на расстоянии r

   =
  ,

  Потенциал электрического поля, созданного металлической сферой радиуса R , несущей заряд Q :

   =
  (r ≤ R ; поле внутри и на поверхности сферы),

   =
  (r > R ; поле вне сферы).

  Потенциал электрического поля, созданного системой n точечных зарядов в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов  1 ,  2 ,…,  n , создаваемых зарядами q 1 , q 2 , ..., q n в данной точке поля

   = .

  Связь потенциалов с напряженностью:

  а) в общем случае = -qrad  или =
  ;

  б) в случае однородного поля

  Е =
  ,

  где d - расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами  1 и  2 вдоль силовой линии;

  в) в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией
  

  где производная берется вдоль силовой линии.

  Работа, совершаемая силами поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2

  A = q ( 1 -  2 ),

  где ( 1 -  2 ) - разность потенциалов начальной и конечной точек поля.

  Разность потенциалов и напряженность электрического поля связаны соотношениями

  ( 1 -  2 ) =
  ,

  где Е е - проекция вектора напряженности на направление перемещения dl .

  Электроемкость уединенного проводника определяется отношением заряда q на проводнике к потенциалу проводника  .

  .

  Электроемкость конденсатора:

  ,

  где ( 1 -  2 ) = U - разность потенциалов (напряжение) между обкладками конденсатора; q - модуль заряда на одной обкладке конденсатора.

  Электроемкость проводящего шара (сферы) в СИ

  с = 4 0 R ,

  где R - радиус шара,  - относительная диэлектрическая проницаемость среды;  0 = 8,8510 -12 Ф/м.

  Электроемкость плоского конденсатора в системе СИ:

  ,

  где S - площадь одной пластины; d - расстояние между обкладками.

  Электроемкость сферического конденсатора (две концентри- ческие сферы радиусами R 1 и R 2 , пространство между которыми заполнено диэлектриком, с диэлектрической проницаемость  ):

  .

  Электроемкость цилиндрического конденсатора (два коакси-альных цилиндра длиной l и радиусами R 1 и R 2 , пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью  )

  .

  Емкость батареи из n конденсаторов, соединенных после- довательно, определяется соотношением

  .

  

  Последние две формулы применимы для определения емкости многослойных конденсаторов. Расположение слоев параллельно пластинам соответствует последовательному соединению однослойных конденсаторов; если же границы слоев перпендикулярны пластинам, то, считают, что имеется параллельное соединение однослойных конденсаторов.

  Потенциальная энергия системы неподвижных точечных зарядов

  .

  Здесь  i - потенциал поля, создаваемого в той точке, где находится заряд q i , всеми зарядами, кроме i -го; n - общее число зарядов.

  

  Объемная плотность энергии электрического поля (энергия, отнесенная к единице объема):

   =
  = = ,

  где D - величина вектора электрического смещения.

  Энергия однородного поля:

  W =  V .

  Энергия неоднородного поля:

  W =
  .

  В электростатике одним из основополагающих является закон Кулона. Он применяется в физике для определения силы взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов или расстояния между ними. Это фундаментальный закон природы, который не зависит ни от каких других законов. Тогда форма реального тела не влияет на величину сил. В этой статье мы расскажем простым языком закон Кулона и его применение на практике.

  История открытия

  Ш.О. Кулон в 1785 г. впервые экспериментально доказал взаимодействия описанные законом. В своих опытах он использовал специальные крутильные весы. Однако еще в 1773 г. было доказано Кавендишем, на примере сферического конденсатора, что внутри сферы отсутствует электрическое поле. Это говорило о том, что электростатические силы изменяются в зависимости от расстояния между телами. Если быть точнее — квадрату расстояния. Тогда его исследования не были опубликованы. Исторически сложилось так, что это открытие было названо в честь Кулона, аналогичное название носит и величина, в которой измеряется заряд.

  Формулировка

  Определение закона Кулона гласит: В вакууме F взаимодействия двух заряженных тел прямо пропорционально произведению их модулей и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

  Звучит кратко, но может быть не всем понятно. Простыми словами: Чем больший заряд имеют тела и чем ближе они находятся друг к другу, тем больше сила.

  И наоборот: Если увеличить расстояние межу зарядами — сила станет меньше.

  Формула правила Кулона выглядит так:

  Обозначение букв: q — величина заряда, r — расстояние межу ними, k — коэффициент, зависит от выбранной системы единиц.

  Величина заряда q может быть условно-положительной или условно-отрицательной. Это деление весьма условно. При соприкосновении тел она может передаваться от одного к другому. Отсюда следует, что одно и то же тело может иметь разный по величине и знаку заряд. Точечным называется такой заряд или тело, размеры которого много меньше, чем расстояние возможного взаимодействия.

  Стоит учитывать что среда, в которой расположены заряды, влияет на F взаимодействия. Так как в воздухе и в вакууме она почти равна, открытие Кулона применимо только для этих сред, это одно из условий применения этого вида формулы. Как уже было сказано, в системе СИ единица измерения заряда — Кулон, сокращено Кл. Она характеризует количество электричества в единицу времени. Является производной от основных единиц СИ.

  1 Кл = 1 А*1 с

  Стоит отметить, что размерность 1 Кл избыточна. Из-за того что носители отталкиваются друг от друга их сложно удержать в небольшом теле, хотя сам по себе ток в 1А небольшой, если он протекает в проводнике. Например в той же лампе накаливания на 100 Вт течет ток в 0,5 А, а в электрообогревателе и больше 10 А. Такая сила (1 Кл) примерно равна действующей на тело массой 1 т со стороны земного шара.

  Вы могли заметить, что формула практически такая же, как и в гравитационном взаимодействии, только если в ньютоновской механике фигурируют массы, то в электростатике — заряды.

  Формула Кулона для диэлектрической среды

  Коэффициент с учетом величин системы СИ определяется в Н 2 *м 2 /Кл 2 . Он равен:

  

  Во многих учебниках этот коэффициент можно встретить в виде дроби:

  

  Здесь Е 0 = 8,85*10-12 Кл2/Н*м2 — это электрическая постоянная. Для диэлектрика добавляется E — диэлектрическая проницаемость среды, тогда закон Кулона может применяться для расчетов сил взаимодействия зарядов для вакуума и среды.

  С учетом влияния диэлектрика имеет вид:

  

  Отсюда мы видим, что введение диэлектрика между телами снижает силу F.

  Как направлены силы

  Заряды взаимодействуют друг с другом в зависимости от их полярности — одинаковые отталкиваются, а разноименные (противоположные) притягиваются.

  

  

  Кстати это главное отличие от подобного закона гравитационного взаимодействия, где тела всегда притягиваются. Силы направлены вдоль линии, проведенной между ними, называют радиус-вектором. В физике обозначают как r 12 и как радиус-вектор от первого ко второму заряду и наоборот. Силы направлены от центра заряда к противоположному заряду вдоль этой линии, если заряды противоположны, и в обратную сторону, если они одноименные (два положительных или два отрицательных). В векторном виде:

  

  Сила, приложенная к первому заряду со стороны второго обозначается как F 12. Тогда в векторной форме закон Кулона выглядит следующим образом:

  

  Для определения силы приложенной ко второму заряду используются обозначения F 21 и R 21 .

  Если тело имеет сложную форму и оно достаточно большое, что при заданном расстоянии не может считаться точечным, тогда его разбивают на маленькие участки и считают каждый участок как точечный заряд. После геометрического сложения всех получившихся векторов получают результирующую силу. Атомы и молекулы взаимодействуют друг с другом по этому же закону.

  Применение на практике

  Работы Кулона очень важны в электростатике, на практике они применяется в целом ряде изобретений и устройств. Ярким примером можно выделить молниеотвод. С его помощью защищают здания и электроустановки от грозы, предотвращая тем самым пожар и выход из строя оборудования. Когда идёт дождь с грозой на земле появляется индуцированный заряд большой величины, они притягиваются в сторону облака. Получается так, что на поверхности земли появляется большое электрическое поле. Возле острия молниеотвода оно имеет большую величину, в результате этого от острия зажигается коронный разряд (от земли, через молниеотвод к облаку). Заряд от земли притягивается к противоположному заряду облака, согласно закону Кулона. Воздух ионизируется, а напряженность электрического поля уменьшается вблизи конца молниеотвода. Таким образом, заряды не накапливаются на здании, в таком случае вероятность удара молнии мала. Если же удар в здание и произойдет, то через молниеотвод вся энергия уйдет в землю.

  В серьезных научных исследованиях применяют величайшее сооружение 21 века – ускоритель частиц. В нём электрическое поле выполняет работу по увеличению энергии частицы. Рассматривая эти процессы с точки зрения воздействия на точечный заряд группой зарядов, тогда все соотношения закона оказываются справедливыми.

  Полезное